杂题选一

1. 给定$m\in\mathbb{Z^+}$，数列$\{a_n\}$定义如下：

$$a_{n+1}=\left\{ \begin{aligned} & a_n^2+2^m & a_n < 2^m \\ & \frac{a_n}{2} & a_n \ge 2^m \\ \end{aligned} \right.$$

对$\forall n\in \mathbb{Z^+}$，其中$a_1\in \mathbb{Z^+}$，试求所有$a_1$，使得$\{a_n\}$是整数数列

1. 设$a_1\le a_2\le \cdots$是无穷正整数序列，$\exists r,k\in \mathbb{Z^+}$使得$(k+1)a_r=r$，证明$\exists s\in\mathbb{Z^+}$使得$s=ka_s$

2. 给定两个不同素数$p,q$，若$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_p\},B=\{b_1,b_2,\cdots,b_q\}$，满足$A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\}$是模$pq$的完系，证明$A$是模$p$的完系

3. 数列$\{a_n\}$定义如下：$a_1\in \mathbb{Z^+}$，对$\forall n\in \mathbb{Z^+},n>1$，$a_n$是不曾在$a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}$中出现过的且与$a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}$互素的最小正整数，证明：所有正整数在$\{a_n\}$中恰好出现一次

4. 正整数$m\ge n>1$，$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$n$个两两不同且不超过$m$的正整数，且$\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1$，证明对$\forall x\in\mathbb{R}$，$\exists 1\le i\le n$使得$||a_i x||\ge \frac{1}{m}||x||$，其中$||y||$表示实数$y$与距离其最近整数的距离

5. 试求所有$a,b\in \mathbb{Z^+}$，使得对数列$\{x_n\}$，$x_0=1,x_1=1,x_{n+1}=ax_n+bx_{n-1}(n\ge 1)$，有$\gcd(x_n,x_m)=x_{\gcd(n,m)}$对$\forall n,m\in\mathbb{Z^+}$成立

6. 设$a,b,c\in\mathbb{R^+}$，对$\forall n\in \mathbb{Z^+}$，都有$[an]+[bn]=[cn]$成立，证明：$a,b,c$中一定有整数

7. $a,b,c\in \mathbb{R}$且两两不同，证明：$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">\sum \frac{1+b^2c^2}{(b-c)^2}\ge \frac{3}{2}</span><script type="math/tex">\sum \frac{1+b^2c^2}{(b-c)^2}\ge \frac{3}{2}$

8. $a,b,c\ge 0$，证明$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">\sum \sqrt{\frac{a^2+2bc}{b^2+c^2}}\ge 3</span><script type="math/tex">\sum \sqrt{\frac{a^2+2bc}{b^2+c^2}}\ge 3$

9. $a,b,c,d\in \mathbb{R}$，$ad-bc=1$，求$S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$的最小值

10. $n\ge 2$，非负实数$a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$，且$\sum_{i=1}^na_i=n$，求$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">I=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\sum_{i=1}^ka_{k+1-i}^2}</span><script type="math/tex">I=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\sum_{i=1}^ka_{k+1-i}^2}$的最大值

11. $n$个正实数$x_1,x_2,\cdots,x_n$，$\sum_{i=1}^n\cfrac{1}{1+x_i}=\cfrac{n}{2}$，证明$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">\sum_{1\le i,j\le n}\frac{1}{x_i+x_j}\ge \frac{n^2}{2}</span><script type="math/tex">\sum_{1\le i,j\le n}\frac{1}{x_i+x_j}\ge \frac{n^2}{2}$

12. 已知$a_1,a_2,\cdots,a_m$为不等于$10$的正整数，且满足$\sum_{i=1}^ma_i=10m$，证明$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">\sqrt[m]{\prod_{i=1}^ma_i}\le 3\sqrt{11}</span><script type="math/tex">\sqrt[m]{\prod_{i=1}^ma_i}\le 3\sqrt{11}$

13. 已知正整数$n>1$，$a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{R^+}$，设$g_n$为$a_1,a_2,\cdots,a_n$的几何均值，对于$k=1,2,\cdots,n$，定义$A_k$为$a_1,a_2,\cdots,a_n$的代数均值，$G_n$为$A_1,A_2,\cdots,A_n$的几何均值，证明$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">n\sqrt[n]{\frac{G_n}{A_n}}+\frac{g_n}{G_n}\le n+1</span><script type="math/tex">n\sqrt[n]{\frac{G_n}{A_n}}+\frac{g_n}{G_n}\le n+1$

14. 设$n\in\mathbb{Z^+}$，对$\forall 1\le i,j\le n$，$a_{i,j}$为正实数且满足$a_{i,j}a_{j,i}=1$，设$c_i=\sum_{k=1}^na_{k,i}(1\le i\le n)$，证明$\sum_{i=1}^n\frac{1}{c_i}\le 1$

15. 若$a_0,a_1,\cdots,a_{2023}\in\mathbb{R}$，对$\forall 1\le i\le 1388$，均有$a_i\ge \cfrac{a_{i-1}+a_{i+1}}{2}$，则称这个数列为咸蛋数列。试求最大的实数$c$，使得对每一个咸蛋数列，均有$\sum_{i=0}^{1389}ia_i^2\ge c\sum_{i=0}^{1389}a_i^2$

16. 对满足$x_1+x_2+\cdots+x_n=1$的任意非负实数列$x_1,x_2,\cdots,x_n$，求$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">I=\sum_{i=1}^n(x_i^4-x_i^5)</span><script type="math/tex">I=\sum_{i=1}^n(x_i^4-x_i^5)$的最大值

17. 已知正整数$n$，若数列$a_0,a_1,\cdots,a_n$满足$a_0=-1$，且对于每个$m\in\mathbb{Z^+},m<n$，均有$\sum_{k=0}^m\cfrac{a_{m-k}}{k+1}=0$，证明$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">\sum_{1\le i&lt;j\le n}\frac{a_ia_j}{a_i+a_j}\le\frac{n\sum_{1\le i&lt;j\le n}a_ia_j}{2\sum_{i=1}^na_i}</span><script type="math/tex">\sum_{1\le i<j\le n}\frac{a_ia_j}{a_i+a_j}\le\frac{n\sum_{1\le i<j\le n}a_ia_j}{2\sum_{i=1}^na_i}$

18. 求所有$k\in\mathbb{R}$，满足对所有满足$a+b+c=0$的实数$a,b,c$，有$\sum\cfrac{ka^2-a}{ka^2+1}$非负

19. 对任何非负整数$n$，证明$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">\sum_{k=0}^n(-1)^k 2^{2n-2k}C_{2n-k+1}^k=n+1</span><script type="math/tex">\sum_{k=0}^n(-1)^k 2^{2n-2k}C_{2n-k+1}^k=n+1$

20. 已知$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$为正数数列，若$\exists M>0$，使得对$\forall n\in\mathbb{Z^+}$都有$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2<Ma_{n+1}^2$，求证：存在$M'>0$，使得对$\forall n\in\mathbb{Z^+}$都有$a_1+a_2+\cdots+a_n<M'a_{n+1}$

21. 若正数$\lambda$满足$\lambda=\lambda^{\frac{2}{3}}+1$，证明$\exists M\in{Z^+}$，使得$|M-\lambda^{300}|<2^{-250}$

22. 已知常数$M>0$，对$n\in \mathbb{Z^+}$，存在两个正数数列$\{a_k\}$与$\{b_k\}(1\le k\le n)$，满足 (1) $\sum_{k=1}^nb_k=1$，$b_k\ge \cfrac{b_{k-1}+b_{k+1}}{2}(2\le k\le n-1)$ (2) $a_n=M,a_k^2\le 1+\sum_{i=1}^ka_ib_i(1\le k\le n)$ 求$M$的上界

23. 已知非负整数数列$a_1,a_2,\cdots,a_n$满足对所有$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$，若$x_1>x_2>\cdots>x_n>0,x_1+x_2+\cdots+x_n<1$，则一定有$\sum_{k=1}^na_kx_k^3<1$ 证明：$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">na_1+(n-1)a_2+\cdots+(n-j+1)a_j+\cdots+a_n\le \frac{1}{4}n^2(n+1)^2</span><script type="math/tex">na_1+(n-1)a_2+\cdots+(n-j+1)a_j+\cdots+a_n\le \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$

24. 求所有$n\in\mathbb{Z^+}$，使得存在两两不同的正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，满足$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">\{a_i+\frac{(-1)^i}{a_i}|1\le i\le n\}=\{a_i|1\le i\le n\}</span><script type="math/tex">\{a_i+\frac{(-1)^i}{a_i}|1\le i\le n\}=\{a_i|1\le i\le n\}$

25. 设$n\in \mathbb{Z^+}$，$\mathbb{R^n}$是$n$元有序实数组的集合，$\mathbb{T}$是所有这样的一类$n$元实数组的集合：$(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R^n}$，且存在$1,2,\cdots,n$的一个排列$\sigma(1),\sigma(2),\cdots,\sigma(n)$，使得对于$\forall 1\le i<n$，满足$x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(i+1)}\ge 1$，证明：存在$d=d(n)$满足对$\forall (a_1,a_2,\cdots,a_n)\in\mathbb{R^n}$，$\exists(b_1,b_2,\cdots,b_n),(c_1,c_2,\cdots,c_n)\in\mathbb{T}$，满足对$\forall 1\le i\le n$，有$a_i=\cfrac{1}{2}(b_i+c_i)$，$|a_i-b_i|\le d,|a_i-c_i|\le d$

26. 证明对$\forall n\in\mathbb{Z^+}$，有$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">\sum_{i=1}^n[\sqrt[3]{\frac{n}{i}}]&lt;\frac{5}{4}n</span><script type="math/tex">\sum_{i=1}^n[\sqrt[3]{\frac{n}{i}}]<\frac{5}{4}n$

27. 已知正整数$n>1$，两个不同的有理无序$n$元数组$(a_1,a_2,\cdots,a_n),(b_1,b_2,\cdots,b_n)$满足$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">\{a_i+a_j|1\le i&lt;j\le n\}=\{b_i+b_j|1\le i&lt;j\le n\}</span><script type="math/tex">\{a_i+a_j|1\le i<j\le n\}=\{b_i+b_j|1\le i<j\le n\}$，证明$n$是$2$的非负整数次幂