邵题一百答

ST1(5)

问 如图，$BH$为$Rt \triangle ABC(AB<BC)$的高，$I,I_1,I_2$分别为$\triangle ABC,\triangle ABH, \triangle BCH$的内心，$P$为$II_1$与$BH$的交点，$Q$为$AI_2$与$CI_1$的交点，求三条边由已知线段围成的，且三个角都有字母名称标注的三角形中相似三角形的组数

答 一共有$32$组,分别是 $\triangle ABC \sim\triangle AHB \sim\triangle BHC \sim\triangle I_1HI_2$ $\triangle ABI_1 \sim\triangle ACI \sim\triangle BCI_2 \sim\triangle I_2II_1$ $\triangle ABI \sim\triangle AHI_1 \sim\triangle BHI_2 \sim\triangle BI_1I$ $\triangle ACQ \sim\triangle I_1I_2Q, \triangle AI_1Q \sim\triangle CI_2Q, \triangle AI_2I \sim\triangle CI_1I$ $\triangle BCI \sim\triangle HBI_1 \sim\triangle I_1BP \sim\triangle I_2BI \sim\triangle HCI_2$ $\triangle BI_1I_2 \sim\triangle HPI_1$

ST2(3)

问 已知未知圆心的一圆与圆外一点$P$，用无刻度的直尺尺规作出圆过点$P$的两条切线

答 如图$PI$与$PJ$为两条过点$P$的圆的切线

ST3(4)

问 已知圆$O$与圆上一点$P$，用无刻度的直尺尺规作出圆$O$过点$P$的一条切线

答 如图，$PG$即为过点P的圆$O$的切线

ST4(4)

问 已知$\overline{abcd},\overline{cdab}+1$为完全平方数，求$\overline{abcd}$

答 $\overline{abcd}=1521$时， $\overline{abcd}=1521=39^2,\overline{cdab}+1=2116=46^2$ 为四位数内的唯一一组合法解

ST5(4)

问 如图，已知正方形$ABCD$边长为$a$，$E,F$为平面内两点，且满足$AF=CE=r$，以$DF,DE$为邻边作平行四边形$DFGE$，问$G$的运动轨迹的区域面积

答 以$FG,GH$为边作平行四边形$FAHG$ 则$FG$与$AH$平行且相等，又在平行四边形$DFGE$中$FG$与$DE$平行且相等，故$DE$与$AH$平行且相等 知四边形$ADEH$为平行四边形

故$AD$与$EH$平行且相等，又在正方形中$AD$与$BC$平行且相等，故$EH$与$BC$平行且相等，因而四边形$BHEC$是平行四边形

故在平行四边形$AFGH$与$BHEC$中，$GH=AF=r,BH=CE=r$ 在$B,H,G$三个点中$BG\le BH+HG=r+r=2r$ 故$G$的轨迹为以$A$为圆心，$2r$为半径的一个圆面 其面积为$S=\pi (2r)^2=4\pi r^2$

（这道题可以解析+向量，其实是同样的道理）