第一届李伟杯

(注意：(伪证竞赛)面卷可在班上传阅；过程另附纸，可直接交至命题组)

Day1

1. ($\mathbb{3QJH}$)在以$AB$为直径的$\odot O$上有一点$C$，$D$为$C$在$AB$上的射影，以$C$为圆心，$CD$为半径作$\odot C$，交$\odot O$与$E,F$两点，连接$EF$，$G$是$E$点关于$AB$的对称点，连接并延长$ED$交$\odot O$于点$H$，连接$CG$交$EF$于点$I$，连接$CH$，证明$CH$平分$IF$。

1. $LW$和$XGJ$在玩卡牌游戏，他们有一堆从上到下排列的卡牌，每一张卡牌上有一个数，总共$n$张，数值为$1$到$n$的所有整数，但不知道顺序。$LW$先手，轮到每一方时，每一方都拿起最上面的一张牌，且此牌数值为$k$，则此方可以将牌堆的最上方的前$k$张牌重新排列顺序(打乱后排列顺序不得与原排列相同)且放回牌堆。若本方无法进行此操作，则本方负。请问对于一组给定的牌堆，是否有一方存在必胜策略？若有，请详细证明并给出；若无，请说明理由。

2. ($\mathbb{5LT}$)设$n\ge2$，$a_1,a_2,\cdots,a_n$为正实数，求证：$\Sigma_{i=1}^n \max\{a_1,a_2,\cdots,a_i\}\cdot\min\{a_i,a_{i+1},\cdots,a_n\}\le\frac{n}{2\sqrt{n-1}}\Sigma_{i=1}^{n}a_i^2$

Day2

1. ($\mathbb{1ZJX}$)完全四边形$ABCDEF$中，四边形$ABCD$内接于圆，$AC$与$BD$交于$G$，$BC$与$AD$交于$F$，$AB$与$DC$交于$E$，$P$为$ACE$外接圆与$BDE$外接圆的交点，$H$为直线$AB$上一点满足$HF//DE$，求证$HP=HF$。

1. 现有$n$次实系数多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0(a_n\ne0)$，且常数项非零。其中$a_0,a_1,\cdots,a_n$中非零的有$t$项。设$f(x)=0$的实根(重根也纳入计数)的个数为$\epsilon$。求证：$\epsilon\le\min\{n,2(t-1)\}$ 。(附加分：能不能把常数$2$优化至更小？并给出证明)

2. ($\mathbb{5BJQ}$)给定正整数$m$，数列$\{a_n\}$定义如下：$a_1$为正整数，对$\forall n\in\mathbb{Z}^+$，当$a_n \ge 2^m$时$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$；当$a_n < 2^m$时$a_{n+1}=a_n^2+2^m$，试求所有$a_1$使得$\{a_n\}$是整数序列。