不动点问题

0x01.数列递推公式的不动点

问题描述

设$a_0=1,a_1=2$，且$n(n+1)a_{n+1}=n(n-1)a_n-(n-2)a_{n-1},n=1,2,3,\cdots$，求$\cfrac{a_0}{a_1}+\cfrac{a_1}{a_2}+\cdots+\cfrac{a_{50}}{a_{51}}$的值

令$x_n=\cfrac{na_n}{a_{n-1}}$

题中等式两边同时除以$a_{n-1}$得

$$\begin{align} &\cfrac{n(n+1)a_{n+1}}{a_{n-1}}=\cfrac{n(n-1)a_n}{a_{n-1}}-(n-2)\\ \Leftrightarrow&\cfrac{na_n}{a_{n-1}}\cdot\cfrac{(n+1)a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n(n-1)a_n}{a_{n-1}}-(n-2)\\ \Leftrightarrow&x_n\cdot x_{n+1}=(n-1)x_n-(n-2) \space (*) \end{align}$$

由$a_0=1,a_1=2$，可知$x_1=2$，代入公式，可知$x_2=\cfrac{1}{2},x_3=1$

不难发现，$x=1$为方程$(*)$的不动点（即当$x_n=1$时，$x_{n+1}=1$）

故知$x_n=\cfrac{na_n}{a_{n-1}}=1,n=3,4,5,\cdots$

即$\cfrac{a_{n-1}}{{a_n}}=n,n=3,4,5,\cdots$

又当$n=2$时，代入题中的递推公式可知$a_2=\cfrac{1}{2}$

故$\cfrac{a_0}{a_1}=\cfrac{1}{2},\cfrac{a_1}{a_2}=4$

故$\cfrac{a_0}{a_1}+\cfrac{a_1}{a_2}+\cdots+\cfrac{a_{50}}{a_{51}}=(\cfrac{1}{2}+4)+3+4+5+\cdots+51=\cfrac{2655}{2}$

附：这道题当然如果能够直接看出$\{a_n\}$的通项公式是最好的，这样可以直接通过数学归纳法

但是看不出来也无关紧要，可以通过间接的代数变形，化简题中方程，从而通过累乘，累加之类的方法解出通项公式

但一定要注意题目中递推公式$n$的取值范围，不在取值范围内的$n$须个个单独拿出讨论

0x02.有关数列通项公式的不动点

问题描述

设非零数列$a_1,a_2,\cdots$满足：$a_1,a_2,\cfrac{a_1^2+a_2^2+b}{a_1a_2}$都是整数，且$a_{n+2}=\cfrac{a_{n+1}^2+b}{a_n},n=1,2,\cdots$，其中$b$是某个给定的整数，求证：数列$\{a_n\}$的每一项都是整数

设$n\ge 2$，则由递推公式可得

$b=a_n+2\cdot a_n-a_{n+1}^2=a_{n+1}\cdot a_{n-1}-a_n^2$

从而$a_n(a_{n+2}+a_n)=a_{n+1}(a_{n+1}+a_{n-1})$

即$\cfrac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\cfrac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n},n=2,3,\cdots$

令$c_n=\cfrac{a_{n+2}+a_{n}}{a_{n+1}}$

则$c_n=c_1=\cfrac{a_3+a_1}{a_2}=\cfrac{a_1^2+a_2^2+b}{a_1a_2}$

由假设可知$c_1$是整数，且$a_{n+2}=c_1a_{n+1}-a_n,n=1,2,3,\cdots$

再由$a_1,a_2$是整数可知$\{a_n\}$的每一项都是整数