通项问题

0x01.带有常量的式子，尝试分离数列项

问题描述

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=2t-3(t\in \mathbb{R}且t\neq \pm 1),a_{n+1}=\cfrac{(2t^{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}(n\in \mathbb{N}^*)$ $(1)$求数列$\{a_n\}$的通项公式。 $(2)$若$t>0$，比较$a_{n}$与$a_{n+1}$的大小

$(1)$

$$\begin{align} a_{n+1}&=\cfrac{(2t_{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}\\ &=2t^{n+1}-3+\cfrac{-4t^{2n+1}+4t^{n+1}+4t^n-4}{a_n+2t^n-1}\\ &=2t^{n+1}-3-4\times\cfrac{(t^{n+1}-1)(t^n-1)}{a_n+2t^n-1}\\ \end{align}$$

故可知

$$\cfrac{a_{n+1}-2t^{n+1}+3}{t^{n+1}-1}\times\cfrac{a_n+2t^n-1}{t_n-1}=-4$$

又观察到

$$\cfrac{a_{n+1}-2t^{n+1}+3}{t^{n+1}-1}=\cfrac{a_{n+1}+1}{t^{n+1}-1}-2\\ \cfrac{a_n+2t^n-1}{t^n-1}=\cfrac{a_n+1}{t^n-1}+2$$

知原式可变形为

$$\cfrac{2(t^{n+1}-1)}{a_{n+1}+1}-\cfrac{2(t^n-1)}{a_n+1}=1$$

又当$n=1$时

$$\cfrac{2(t^1-1)}{a_1+1}=\cfrac{2(t-1)}{2t-3+1}=1$$

知$\{\cfrac{2(t^n-1)}{a_n+1}\}$是以$1$为首项，公差为$1$的等差数列

所以

$$\cfrac{2(t^n-1)}{a_n+1}=1+1\times(n-1)=n$$

故

$$a_n=\cfrac{2\cdot t^n-n-2}{n}$$

$(2)$

比较$a_n=\cfrac{2\cdot t^n-n-2}{n}$与$a_{n+1}=\cfrac{2\cdot t^{n+1}-(n+1)-2}{n+1}$的大小

等价于比较$\cfrac{t^n-1}{n}$与$\cfrac{t^{n+1}-1}{n+1}$的大小

$(i)$当$t>1$时

即比较$\cfrac{t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1}{n}$与$\cfrac{t^n+t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1}{n+1}$的大小

即比较$t^{n-1},t^{n-2},\cdots,1$的代数平均数与$t^n,t^{n-1},t^{n-2},\cdots,1$的代数平均数

因为$t^n$大于前者中的任何一个数，所以后者大，即$a_n<a{n+1}$

$(ii)$当$t<1$时

即比较$\cfrac{t^n+t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1}{n+1}$与$\cfrac{t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1}{n}$的大小

即比较$t^n,t^{n-1},t^{n-2},\cdots,1$的代数平均数与$t^{n-1},t^{n-2},\cdots,1$的代数平均数

因为$t^n$小于后者中的任何一个数，所以后者大，即$a_n<a_{n+1}$

综上，知当$t>0$时，$a_n<a_{n+1}$