不等式之代换法的常用技巧

0x01.三数乘积为定值，常可将三数设为轮换除形式

问题描述

已知$a,b,c>0,abc=1$，求证$(a-1+\cfrac{1}{b})(b-1+\cfrac{1}{c})(c-1+\cfrac{1}{a})\le 1$

令$x,y,z>0$，由$abc=1$，可设$a=\cfrac{x}{y},b=\cfrac{y}{z},c=\cfrac{z}{x}$ 那么

$$\begin{align} &(a-1+\cfrac{1}{b})(b-1+\cfrac{1}{c})(c-1+\cfrac{1}{a})\le1\\ \Leftrightarrow &(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\le xyz \end{align}$$

由舒尔不等式，知结论成立

0x02.根据题目条件与所证结论特点设元

问题描述

已知$a,b,c\ge 0,a+b+c=1$，求证$\sqrt{a+\cfrac{1}{4}(b-c)^2}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le \sqrt{3}$

注意到

$$\begin{align} &(x+y)^2=(x-y)^2+4xy\\ &(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2) \end{align}$$

记$x=\cfrac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2},y=\cfrac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{2}$

则

$$\begin{align} &x^2+y^2=\cfrac{b+c}{2}\\ &xy=\cfrac{b-c}{4} \end{align}$$

由$a+b+c=1$，知$a+2(x^2+y^2)=1(x\ge 0)$

显然有$x\le \cfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x^2\le \cfrac{1}{2}$

故

$$\begin{align} &\text{所证}\\ \Leftrightarrow &\sqrt{a+4(xy)^2}+2x\le \sqrt{3}\\ \Leftrightarrow &1-2(x^2+y^2)+4(xy)^2\le (\sqrt{3}-2x)^2\\ \Leftrightarrow &(1-\sqrt{3}x)^2+y^2(1-2x^2)\ge 0 \end{align}$$

显然成立，知结论成立

0x03.当题目中有特殊的值域限制时，可通过换元转换条件

问题描述

已知$x,y,z\in[1,4]$，且$x+y+z=9$，求证$4(xy+yz+zx)\le xyz+xy^2+yz^2+zx^2$

令$x=4-a,y=4-b,z=4-c$，则$a,b,c\ge 0$

由$x+y+z=9$，知$a+b+c=3$，此时$x=9-y-z=1+b+c\ge 1$

$\text{所证}\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc\le 4$

由友链，知结论成立

0x04.给定“三角形的三边长”有关条件，可用切线长进行换元

问题描述

已知$a,b,c$是三角形的三边长，求证$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge 0$

记

$$\begin{align} x&=\cfrac{b+c-a}{2}\\ y&=\cfrac{c+a-b}{2}\\ z&=\cfrac{a+b-c}{2}\\ \end{align}$$

则

$$\begin{align} a&=y+z\\ b&=z+x\\ c&=x+y\\ \end{align}$$

代入左式，可得

$$\begin{align} &a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge 0\\ \Leftrightarrow &xy^3+yz^3+zx^3\ge x^2yz+y^2zx+z^2xy\\ \Leftrightarrow &\cfrac{y^2}{z}+\cfrac{z^2}{x}+\cfrac{x^2}{y}\ge x+y+z \end{align}$$

由排序不等式，知

$$x^2\cdot \cfrac{1}{y}+y^2\cdot \cfrac{1}{z}+z^2\cdot \cfrac{1}{x}\ge x^2\cdot \cfrac{1}{x}+y^2\cdot \cfrac{1}{y}+z^2\cdot \cfrac{1}{z}$$

知结论成立

0x05.若给定恒等式条件类似于三角恒等式，可尝试三角换元

问题描述

已知$a,b,c\ge0,a^2+b^2+c^2+abc=4$，求证$a+b+c\le 3$

由$a^2+b^2+c^2+abc=4$，知$(\cfrac{a}{2})^2+(\cfrac{b}{2})^2+(\cfrac{b}{2})^2+2\cdot\cfrac{a}{2}\cdot\cfrac{b}{2}\cdot\cfrac{c}{2}=1$

故$\cfrac{a}{2},\cfrac{b}{2},\cfrac{c}{2}\in(0,1)$

注意到$y=\cos x$在$(0,\cfrac{\pi}{2})$上的值域为$(0,1)$

取$A,B\in(0,\cfrac{\pi}{2})$，使$\cos A=\cfrac{a}{2},\cos B=\cfrac{c}{2}$，令$C=\pi -A-B>0$，由已知

$$\begin{align} \cfrac{c}{2} &=-\cfrac{ab}{4}\pm \sqrt{(1-\cfrac{1}{4}a^2)(1-\cfrac{1}{4}b^2)}\\ &=-\cfrac{ab}{4}+\sqrt{(1-\cfrac{1}{4}a^2)(1-\cfrac{1}{4}b^2)}\\ &=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\\ &=-\cos(A+B)\\ &=\cos(\pi-A-B)\\ &=\cos C \end{align}$$

有$\cos A+\cos B+\cos C\le \cfrac{3}{2}$

即$\cfrac{a}{2}+\cfrac{b}{2}+\cfrac{c}{2}\le \cfrac{3}{2}$

知结论成立