琴声不等式

0x01.琴生不等式

若$f(x)$满足$f''(x)>0,\forall x\in [a,b]$（即$f(x)$在$[a,b]$上为下凸函数（凹函数）），则对$\forall x_1,x_2,\cdots,x_n\in [a,b]$，有

$$\cfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\ge f(\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})$$

当且仅当$x_1=x_2=\cdots=x_n$时取等

0x02.琴生不等式的应用

问题描述

在$\triangle ABC$中，求证$(1)\sin A+\sin B+\sin C\le \cfrac{3}{2}\sqrt{3}$$(2)\sin A\sin B\sin C\le \cfrac{3}{8}\sqrt{3}$

$(1)$

令$f(x)=\sin x(x\in (0,\pi))$，则$f''(x)=-\sin x<0$

由琴生不等式，知$\cfrac{f(A)+f(B)+f(C)}{3}\le f(\cfrac{A+B+C}{3})=f(\cfrac{\pi}{3})$

故$\sin A+\sin B+\sin C\le 3\sin \cfrac{1}{3}\pi = \cfrac{3}{2}\sqrt{3}$

$(2)$

$$\begin{align} &\sin A\sin B\sin C\le \cfrac{3}{8}\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow& \ln \sin A+\ln \sin B+\ln \sin C\le 3\ln \cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align}$$

令$f(x)=\ln\sin x(x\in (0,\pi))$，则$f''(x)=-\csc^2x<0$

故$f(x)$在$(0,\pi)$间上凸

故$f(A)+f(B)+f(C)\le 3f(\cfrac{A+B+C}{3})=3f(\cfrac{\pi}{3})=3\ln\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$

知结论成立