赫尔德不等式

0x01.赫尔德不等式

对于$m$个正数序列，有

$$\prod_{i=1}^{m}(\Sigma_{j=1}^na_{ij}^m)\ge(\Sigma_{j=1}^n\prod_{i=1}^ma_{ij})^m$$

当且仅当$m$个序列对应成比例时取等

备注

柯西不等式是赫尔德不等式$m=2$时的直接推论

0x02.赫尔德不等式的应用

对于$3$个正数序列$(a_1,a_2,\cdots,a_n),(b_1,b_2,\cdots,b_n),(c_1,c_2,\cdots,c_n)$，有

$$(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3)(b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3)(c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3)\ge(a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+\cdots+a_nb_nc_n)^3$$