伯努利不等式与舒尔不等式的常用技巧

0x01.通过调节次数来保证用伯努利不等式放缩时不放过头

问题描述

已知整数$n \ge 5$, 求证$2^n>n^2$

$$2^{\frac{n}{4}} = (1+1)^{\frac{n}{4}}>1+\frac{n}{4}\times 1\ge 2\sqrt{\frac{n}{4}}=\sqrt{n}$$

知$2^n>n^2$，结论成立

0x02.通过取倒数等方法保证伯努利不等式放缩后的方向性

问题描述

已知$x,y,z>0$，求证$(\cfrac{2x}{y+z})^\frac{2}{3}+(\cfrac{2y}{z+x})^\frac{2}{3}+(\cfrac{2z}{x+y})^\frac{2}{3}\ge 3$

$$\begin{align} &\Sigma(\cfrac{2x}{y+z})^\frac{2}{3} \\ = &\Sigma(\cfrac{y+z}{2x})^\frac{3}{2} \\ =&\Sigma(1+\cfrac{y+z-2x}{2x})^\frac{3}{2} \\ \ge &\Sigma \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{y+z-2x}{2x}}\\ =&\Sigma \cfrac{3x}{x+y+z}=3 \end{align}$$

知结论成立

0x03.在式中凑出与Schur不等式接近的项

Warning

$x^2-xy+y^2$可以配凑成为$r=2$时的舒尔不等式，下便是两例

问题描述

已知$a,b,c>0$，求证$\Sigma\cfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}\ge a+b+c$

$$\Sigma\cfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}\cdot \Sigma a(b^2-bc+c^2)\ge (\Sigma a^2)^2$$

故知

$$\Sigma \cfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}\ge \cfrac{(\Sigma a^2)^2}{\Sigma a(b^2-bc+c^2)}$$

欲证结论，只要证$\Sigma (a^4-a^3b-a^3c+a^2bc)\ge 0$

上式等价于$\Sigma a^2(a-b)(a-c)\ge 0$

由$r=2$时的舒尔不等式知结论成立

问题描述

已知$a,b,c\ge 0$，求证$\Sigma a\sqrt{b^2-bc+c^2}\le \Sigma a^2$

$$\begin{align} LHS^2&=(\Sigma a\cdot \sqrt{b^2-bc+c^2})^2\\ &=(\Sigma \sqrt{a}\cdot \sqrt{a(b^2-bc+c^2)})^2\\ &\le \Sigma a\cdot \Sigma a(b^2-bc+c^2) \end{align}$$

欲证结论，只要证$\Sigma (a^4-a^3b-a^3c+a^2bc)\ge 0$

上式等价于$\Sigma a^2(a-b)(a-c)\ge 0$

由$r=2$时的舒尔不等式知结论成立