伯努利不等式

0x01.伯努利不等式

• 已知$x>-1$，当$\alpha > 1$或$\alpha < 0$时，均有$(1+x)^{\alpha}\ge 1+\alpha x$；当$0<\alpha<1$时，$(1+x)^{\alpha}\le 1+\alpha x$

等号成立当且仅当$x=0$

• 当$x_1,x_2,\cdots,x_n>-1$且同号时，

$$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)>1+x_1+x_2+\cdots+x_n$$

0x02.伯努利不等式的证明

（这里给出$\alpha > 1$时的证明，剩下情况同理）

令$f(x)=(1+x)^{\alpha}-\alpha x-1$，知$x=0$时，$f(x)=0$

有$f'(x)=\alpha(1+x){\alpha - 1}-\alpha=\alpha[(1+x)^{\alpha - 1} - 1]$

令$f'(x)=0$，知$x=0$

$x>0$时$f'(x)>0$，$-1<x<0$时$f'(x)<0$

知$f(x)$在$(-1,0]$上单调递减，在$[0,+\infty)$上单调递增

故$f(x)\ge f(0)=0(x\in (-1,+\infty))$，即

$(1+x)^{\alpha}-\alpha x - 1\ge 0$

整理得$(1+x)^{\alpha}\ge \alpha x+1$，知结论成立

0x03.伯努利不等式的应用

问题描述

已知$a>0,0<b<1$，求证$a^b>\cfrac{a}{a+b-ab}>\cfrac{a}{a+b}$

$$\begin{align} &a^b=\cfrac{1}{(\cfrac{1}{a})^b}=\cfrac{1}{(1+\cfrac{1-a}{a})^b}\\ >&\cfrac{1}{1+b\times\cfrac{1-a}{a}}=\cfrac{a}{a+b-ab}>\cfrac{a}{a+b} \end{align}$$

知结论成立